Stima dei parametri per un modello AR(1)

Eccoci tornati dopo qualche giorno di pausa! Riprendiamo il nostro percorso alla scoperta dei modelli AR (autoregressivi).

Ci eravamo lasciati, nell'ultimo post, introducendo questi modelli, che sono un ottimo strumento matematico che racchiude i concetti già esposti di stazionarietà e autocorellazione e che quindi ci possono aiutare nello studio delle serie storiche finanziare.


Ora, il successivo e decisivo passo sarà quello di capire come da un modello teorico possiamo studiare la specifica serie storica finanziaria. Concettualmente è semplice: dobbiamo stimare i parametri del modello AR(1), che avevamo chiamato μ, σ e Φ, in modo che il modello vada a descrivere proprio la serie storica di interesse.


N.B.: seguono ora alcune semplificazioni concettuali molto forti, necessarie per rendere comprensibile questo passaggio a tutti i nostri lettori. Vi invitiamo, per avere un'idea più corretta dal punto di vista formale, a consultare questo testo: "Time Series Analysis", James Hamilton, Princeton University Press - Cap 5.2 .


Supponiamo di avere una serie storica di lunghezza N, che scriviamo come y(1),...,y(N), e di volerla stimare con un modello AR(1) che scriviamo come Y(1),...,Y(N). Avendo i valori della serie storica fissati - sono proprio quelli del mercato! - e sapendo che il valore Y(t) dipende solo dal valore Y(t-1), attraverso la regola di Bayes possiamo associare al nostro modello una probabilità, detta likelihood, per ogni possibile valore dei parametri μ, σ e Φ.

Ora. attraverso il concetto di Maximum Likelihood (MLE) possiamo trovare il valore massimo delle varie probabilità.

Cosa significa questo? Che attraverso il metodo MLE troviamo i parametri "più probabili" associati al modello AR(1) per la nostra serie storica!


Nel procedimento appena descritto, in maniera informale, c'è però un problema: il metodo non tiene conto di quanti parametri ci sono nel modello -nel nostro caso 3. Sono tanti? Sono pochi? O in altre parole, va bene il modello AR(1), o avremmo dovuto usare un altro modello, come AR(2) o AR(5), che prevedono una dipendenza dai tempi precedenti più ampia e quindi introducono nuovi parametri?

Avere troppi parametri potrebbe portare "overfitting", ovvero eccedere con la precisione nella descrizione del modello perdendo quelle che potrebbero essere le capacità di previsione del modello stesso.

Esistono però alcuni metodi, sui cui ora non ci soffermeremo, come AIC e BIC, che permettono di selezionare il numero ottimale di parametri, ovvero il modello per noi più preciso.


Vi aspettiamo nei prossimi post sul nostro blog per introdurre i modelli AR(p)!


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