Nel post precedente avevamo descritto i modelli ARCH(m), ora siamo pronti per introdurre i modelli GARCH(r,m).
Abbiamo visto che a(t) è un modello ARCH(m) se:
a(t) = σ(t)ε(t)
dove ε(t) è un processo i.i.d con media nulla e varianza unitaria e σ(t) è tale che
σ(t)^2 = ω + α(1) a(t-1)^2 + ... + α(m) a(t-m)^2
Come già descritto, nei modelli ARCH(m) si presenta il problema che la varianza condizionata ha più alta frequenza rispetto a quella delle serie storiche finanziarie.
Per limitare questo deficit ai modelli ARCH(m) viene aggiunta una componente detta volatilità persistente esprimibile come combinazione lineare dei valori passati della varianza condizionata σ(t)^2.
In definitiva diremo che a(t) è un modello GARCH(r,m) se
a(t) = σ(t)ε(t)
dove ε(t) è un processo i.i.d con media nulla e varianza unitaria e σ(t) è tale che
σ(t)^2 = ω + α(1) a(t-1)^2 + ... + α(m) a(t-m)^2 + β(1) σ(t-1)^2 + ... + β(r) σ(t-r)^2
Questo modello presentato da Bollerslev nel 1986 viene anche detto modello autoregressivo eteroschedastico generalizzato.
Perché con questa nuova definizione si riduce la frequenza della varianza condizionata?
Il motivo è dato dal fatto che faccio dipendere σ(t) non solo dai valori di a(t-1),..., a(t-m) ma anche dai suoi valori passati σ(t-1),...,σ(t-r).
Sotto, un esempio di simulazione e confronto dei modelli ARCH(1) con α(1) = 0.25 e GARCH(1,1) con α(1) = 0.25 e β(1) = 0.3.
Dai grafici in figura si nota che l'autocorrelazione della varianza condizionata per il modello GARCH abbia decadimento più basso rispetto a quello del modello ARCH e questo comporta una riduzione della frequenza della varianza condizionata stessa.
Vi aspettiamo per il prossimo post dove faremo vedere un esempio di applicazione dei modelli ARCH(m) e GARCH(r,m)!
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