Modelli autoregressivi AR - Parte1

Aggiornamento: 22 dic 2020

Negli scorsi post, sulla stazionarietà e sull'autocorrelazione, abbiamo introdotto due concetti matematici fondamentali per lo studio delle serie storiche finanziarie.

Vogliamo ora fare un passo successivo, importante e impegnativo, introducendo i modelli autoregressivi detti anche modelli AR.


I modelli AR sono i modelli più semplici per descrivere e simulare l'andamento di una serie storica autocorrelata (ecco il primo collegamento con quanto descritto precedentemente). Questi modelli prevedono che il valore Y della serie storica al tempo t, Y(t), possa essere pensato come somma di una parte che dipende dai valori precedenti nel tempo e una parte di novità ε(t), descritta come "white noise" ovvero come una gaussiana con deviazione standard σ.

Il modello AR(1) sarà allora un modello che lega il valore Y(t) solo al valore Y(t-1) e a ε(t).

Matematicamente possiamo allora scrivere il processo AR(1) in questo modo:


Y(t) - μ = Φ(Y(t-1)-μ) + ε(t)


dove μ e Φ sono due costanti dette media e memoria del processo AR(1).

Affinché il processo AR(1) possa essere stazionario (ecco il secondo collegamento a quanto descritto precedentemente) dobbiamo imporre che |Φ|<1.


Proviamo a simulare due diversi processi AR(1), ovvero due serie storiche finte, con un Φ diverso, e osserviamo come varia l'autocorrelazione.


Come si facilmente vedere, a lag 1, ovvero in corrispondenza al lag preso in esame con un modello AR(1), più è alto phi e più l'autocorrelazione è alta.

Questa osservazione sarà importante quando andremo ad applicare il modello AR alle vere serie storiche finanziare.


Provando a fare un piccolo riepilogo, abbiamo visto come da una serie storica finanziaria, possiamo costruire un serie alla differenze che risulta essere stazionaria. Abbiamo inoltre visto che l'autocorrelazione può permetterci di legare le differenza di prezzo al tempo t con le differenze di tempo al prezzo precedente. Ora, con i modelli AR, abbiamo introdotto uno strumento matematico che può racchiudere in se queste due importanti caratteristiche e quindi potremo utilizzare per studiare le nostre serie storiche.


Il prossimo passaggio sarà allora capire come poter stimare i vari parametri μ, σ e Φ del modello AR(1) per poterlo utilizzare su una specifica serie storica finanziaria che ci interessa. Per questo, ci diamo appuntamento a dopo le festività natalizie!



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