Modelli ARCH

Come abbiamo visto nello scorso post, nelle serie storiche finanziarie è presente il fenomeno di volatilità clustering.


Una classe di modelli che descrivono questo fenomeno è stata introdotta nel 1982 da Robert Engle attraverso i modelli ARCH(m) e poi successivamente da Bollerslev nel 1986 tramite i modelli GARCH. Proviamo a definirne il primo.


Diremo che a(t) è un modello ARCH(m) se:


a(t) = σ(t)ε(t)


dove ε(t) è un processo i.i.d con media nulla e varianza unitaria e σ(t) è tale che


σ(t)^2 = ω + α(1) a(t-1)^2 + ... + α(m) a(t-m)^2


con ω e α(1),...,α(m) costanti.


Cosa significa tutto ciò? Con questa definizione si può far vedere facilmente che mediamente il processo a(t)^2 dipende dai valori a(t-1)^2,..., a(t-m)^2 in maniera lineare:

a(t)^2 = ω + α(1) a(t-1)^2 + ... + α(m) a(t-m)^2


Dato che la media del processo a(t) è nulla allora la media di a(t)^2 coincide con la varianza di a(t) e quindi possiamo affermare che la varianza al tempo t dipende linearmente dalla varianza dei disturbi precedenti a(t-1),..., a(t-m). Questo è proprio quello che volevamo: la volatilità al tempo t dipende dalle volatilità dei tempi precedenti, potendo quindi descrivere il fenomeno di volatilità clustering!


Di seguito mostriamo un esempio di simulazione per il modello ARCH(3) con α(1) = 0.25, α(2) = 0.1 e α(3) = 0.01 e ω = 0.01.



Vediamo dal grafico dell'autocorrelazione come a(t)^2 dipenda linearmente dai valori a(t-1)^2, a(t-2)^2 e a(t-3)^2.


Sorge però un piccolo inconveniente: empiricamente si può dimostrare che nei modelli ARCH(m) la varianza condizionata ha una frequenza più alta rispetto a quella delle serie storiche finanziare.

Proprio per limitare questo deficit vengono introdotti i modelli GARCH, che descriveremo nel prossimo post!



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