Modelli AR(p)

Nel corso degli ultimi post (qua i link 1 e 2) nel nostro blog, avevamo intrdotto il modello autoregressivo AR(1), che ricordiniamo avere una dipendenza temporale a lag 1, cioè il valore del modello al tempo t dipende, nel tempo, solo dal valore al tempo t-1. Inoltre avevamo descritto come stimare i parametri del AR(1) attraverso il metodo MLE.

Facciamo ora un ulteriore passo in avanti!


Imporre la dipendenza solo a lag 1 è un po' limitativo, perché la realtà ci insegna che è possibile che il valore del modello al tempo t dipenda, nel tempo, da più osservazioni precedenti.


Supponiamo allora di avere una serie storica di lunghezza N, che scriviamo sempre come y(1),...,y(N), e studiandone il grafico dell'autocorrelazione ci accorgiamo che la dipendenza non è solo al primo al primo lag, come facilmente intuibile nell'esempio in figura:



Introduciamo allora i modelli AR(p) che sono una generalizzazione dei modelli AR(1):


Y(t) - μ = Φ(1)(Y(t-1)-μ) + Φ(2)(Y(t-2)-μ) + ... + Φ(p)(Y(t-p)-μ) + ε(t)


dove Φ(1),...,Φ(p) sono i coefficienti autoregressivi associati ai lag 1,...,p rispettivamente.


Come possiamo sempre intuire dalla figura, i valori del lag per i quali l'autocorrelazione è significativa sono diversi. Per descrivere allora la nostra serie storica, quale modello AR(p) è il migliore? Sarà meglio AR(1), o, ad esempio, AR(4)?

Innanzi tutto osserviamo che il primo lag che presenta autocorrelazione nulla è lag =11, come mostrato in figura. Quindi possiamo andare a considerare il modello AR(11), perché al suo interno, per definizione, contiene tempi precedenti che vanno a influire sul valore al tempo fissato.


Questa procedura non è sbagliata ma non tiene conto del numero di parametri usati dal modello. Infatti, per un modello AR(11), i parametri sono molteplici e si rischiano le problematiche di overfitting già descritte in precedenza.

Per questo motivo ricorriamo ancora una volta ai metodi AIC e BIC che consentono di avere seleziona il lag corretto mantenendo un buon livello di descrizione della serie storica senza avere un problematico eccesso di parametri.


Vi aspettiamo nei prossimi post sul nostro blog per inoltrarci nei modelli MA(q)!


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