I modelli Moving-Average, MA(q)

Nel precedente post ci eravamo lasciati con la descrizione dei modelli AR(p).

Come già accennato, la maggior parte delle serie storiche finanziarie mostrano autocorrelazione solo per pochi lag (short-range correlated) e i modelli AR(p) non sempre forniscono una buona descrizione in queste condizioni. Come poter fare?

L’idea è di aggiungere al modello AR(p) un’altra componente stocastica detta a media mobile e denotata con MA(q).

Andiamo più nello specifico e proviamo a darne una descrizione formale.

Come abbiamo fatto per i modelli AR, iniziamo a definire il modello MA più semplice, ovvero quello a leg 1: il modello MA(1).

Un modello Y(t) è detto MA(1) se

Y(t) - μ = ε(t) + θ ε(t-1)

dove ε è un white noise di media 0 e deviazione standard σ. L'idea che sta sotto questa definizione è quella di poter descrivere la nostra serie storica -che ricordiamo, per le serie storiche finanziare è SEMPRE quella alle differenze- come variazioni casuali, dipendenti dal tempo presente, ε(t), e dal tempo precedente, ε(t-1), intorno alla media μ.

Notiamo alcune differenze fra il modello AR(1) e il modello MA(1):

1. nel modelli AR(1), il valore della serie storica al tempo t, Y(t), dipende dal valore della serie storica stessa al tempo t-1; invece, nel modello MA(1), il valore di Y(t) non dipende dai valori precedenti della serie storica stessa ma dipende solo dalle variazioni casuali ai tempi t e t-1, ovvero ε(t) e ε(t-1);

2. a differenza del modello AR(1), il processo MA(1) è sempre stazionario e la funzione di correlazione ha valori non nulli SOLO per lag uguale a 1, come si nota in figura 1.

Fig.1 - Funzione di autocorrelazione di un processo MA(1)

Facendo una semplice generalizzazione, possiamo definire un modello MA(q) come:

Y(t) - μ = ε(t) + θ(1) ε(t-1) + ... + θ(q) ε(t-q)

dove la serie storica Y(t) avrà dipendenza da variazioni casuali sino al tempo t-q.

In analogia a quanto visto per il modello MA(1), la funzione di autocorrelazione è non nulla solo per i primi q lag, come si può vedere in figura 2.

Fig.2 - Funzione di autocorrelazione di un processo MA(q)

Analogamente ai modelli AR(p) la scelta del modello (la scelta di q) e dei parametri θ(1), ..., θ(q), μ e σ viene determinata attraverso i metodi AIC o BIC -vedi qua

Vi aspettiamo nei prossimi post sul nostro blog per descrivere i modelli ARMA, ovvero l'unione dei modelli AR e dei modelli MA.

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